Các Cơ Sở Của Số Học: Một Khảo Sát Logic-Toán Về Khái Niệm Số PDF

Gottlob Frege (tên thánh: Friedrich Ludwig Gottlob Frege) chào đời tại Wismar, nằm trên bờ biển Baltic của Đức, vào ngày 08 tháng 08 năm 1848. Cha ông, Karl Alexander (1809 -1866), là nhà sáng lập, hiệu trưởng của một trường nữ tư thục, và mẹ ông, Auguste Bialloblotzky (qua đời năm 1878), là giáo viên và sau đó là hiệu trưởng của ngôi trường này. Ông học trường Gymnasium ở Wismar từ 1864 đến 1869, và sau khi thi đậu kì Abitur vào mùa xuân năm 1869, ông đến học tiếp ở Đại học Jena. Ông học ở đây 4 học kì, đăng kí học các môn hóa học, toán và triết học, trước khi chuyển đến Đại học Göttingen (có lẽ theo lời khuyên của thầy hướng dẫn của ông ở Jena là Ernst Abbe), nơi ông học 5 học kì, đăng kí học các môn vật lí, toán và triết học tôn giáo. Ông đậu bằng tiến sĩ năm 1873 với luận án “On a Geometrical Representation of Imaginary Form in Plane” (Về biểu diễn hình học của dạng ảo trong mặt phẳng), nó phát triển tiếp công việc của Gauss, một trong những nhà toán học đã hợp thức hóa số phức bằng cách chỉ ra cách thức chúng có thể được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng, và chỉ ra cách thức những phần ảo có thể được biểu diễn bằng hình học.
Mặc dù đây là một tác phẩm hình học thuần túy, nhưng luận án của Frege đã cho thấy hướng đi về sau trong tư tưởng của ông. Vì rõ ràng ông quan tâm đến cách thức những kết quả trong một lĩnh vực có thể mở rộng sang một lĩnh vực khác. Sở dĩ làm được như thế là do số học nằm đằng sau nó, môn học bao gồm cái trực quan lẫn cái phi trực quan; và đây là điều Frege nhấn mạnh xuyên suốt tác phẩm về sau của ông. Quả thật, nó cung cấp điểm khởi đầu cho tác phẩm tiếp theo của ông, luận án Habil cần thiết để trở thành giảng viên đại học, được nộp vào đầu năm 1874 cho Đại học Jena và bao gồm trong hồ sơ ứng tuyển giảng viên của ông. Mang nhan đề “Methods of Calculation based on an Extension of the Concept of Magnitude” (Những phương pháp tính dựa trên ngoại diên của khái niệm độ lớn), chính trong tác phẩm này người ta thấy những quan tâm về cơ sở của Frege. Frege lập luận những gì làm cơ sở cho khái niệm độ lớn, và làm cho nó độc lập với trực giác, là những tính chất tổng quát của phép cộng, và chính phép cộng là “chủ đề của các mệnh đề cơ bản này để từ đó toàn bộ môn số học nảy nở từ một hạt mầm”. Tất cả các phương pháp tính toán khác bắt nguồn từ phép cộng ‒ chẳng hạn, phép cộng lặp lại sẽ tạo ra phép nhân. Frege cho rằng cái liên quan ở đây là sự áp dụng lặp lại một phép toán, vốn có thể được biểu trưng bằng một hàm phù hợp, sao cho giá trị của hàm ở một đối số cho sẵn từ nó có thể trở thành đối số của hàm đó. Chẳng hạn, cộng 1 có thể được biểu diễn bằng hàm số liền sau f(x) = x+1, cộng 2 bằng ff(x), v.v.. nhân đôi bằng g(x)=x+x, nhân bốn bằng gg(x), v.v.. Frege tiếp tục khảo sát các quan hệ giữa nhiều kiểu hàm toán học khác nhau; nhưng điểm then chốt cần lưu ý ở đây là vai trò trung tâm của khái niệm hàm được đề xuất trong lí thuyết cần thiết về độ lớn, giúp người ta có thể kết nối những lĩnh vực khác nhau của số học. Chính sự phát triển lí thuyết hàm của Frege đã đóng vai trò quan trọng trong sự chuyển đổi môn logic mà ông đã góp phần thay đổi sau đó.
Sau khi hoàn thành luận án Habil, và kì khảo thí miệng cần thiết, tức tranh luận công khai và giảng thử, tháng 05 năm 1874, Frege được bổ nhiệm vị trí Privatdozent (giảng viên không lương) ở Đại học Jena, nơi ông đã giảng dạy suốt sự nghiệp còn lại. Trong mấy năm đầu tiên, trách nhiệm giảng dạy của ông khá nặng nề, và ông chỉ công bố bốn tác phẩm ngắn, ba trong số đó là bài điểm sách, trước khi xuất bản quyển sách đầu tiên của ông, Begriffsschrift, năm 1879. Mặc dù ngày nay tác phẩm này được tôn vinh đã mở ra thời đại của logic hiện đại, ta thấy rõ từ Lời tựa rằng mục đích của Frege khi phát triển một lí thuyết logic mạnh hơn không phải để tập trung cải thiện logic truyền thống mà nhằm cung cấp cho số học những cơ sở mạnh nhất có thể được . Vì những cơ sở vững chắc nhất được thấy là những cơ sở logic, tác vụ trở thành xác định phạm vi số học có thể thiết lập từ logic là bao nhiêu. Sau khi giải thích lí thuyết logic của ông trong Phần I, II, III, Frege quả thật đã thành công trong việc chứng minh rằng phép quy nạp toán học có thể được phân tích theo logic thuần túy, và chắc chắn kết quả này đã khuyến khích ông nỗ lực thiết lập toàn bộ số học từ logic. Chương trình duy logic, như nó được gọi ngày nay, khiến ông bận tâm trong phần tư thế kỉ sau đó.
Nhưng tại sao người ta thấy cần phải cung cấp cơ sở cho số học? Câu trả lời nằm ở những phát triển trong toán học vào thế kỉ XIX. Trong tác phẩm của Gauss, Lobatchevsky, Bolyai và Riemann, những môn hình học phi-Euclid đầu tiên được xây dựng bằng cách thay thế tiên đề V khét tiếng của Euclid, tiên đề song song, bằng một tiên đề khác. Nhiều người đã giả sử rằng những mâu thuẫn sớm muộn cũng sẽ xuất hiện, nhưng khi hình học eliptic đôi được chứng minh là có thể áp dụng với mặt cầu, ‘đường’ được diễn giải là đường tròn lớn, người ta thấy rằng hình học phi-Euclid là nhất quán nếu hình học Euclid nhất quán (vì những cấu hình mà chúng được mô hình hóa mang tính chất Euclid). Như chúng ta vừa thấy, bản thân Frege quan tâm chứng minh cách thức những dạng ảo có thể được biểu diễn theo hình học bằng cách mở rộng hình học giải tích để bao gồm các số phức. Nhưng nếu hình học phi-Euclid có thể được mô hình hóa bên trong hình học Euclid, và hình học Euclid, thông qua hình học giải tích, có thể được đặt cơ sở trên lí thuyết số (đến cuối thế kỉ XIX, Hilbert đã chứng minh rằng hình học Euclid là nhất quán nếu số học là nhất quán). Câu hỏi này trở nên bức thiết hơn do sự tranh cãi không ngừng về sự tồn tại của số âm và số phức. Khi Hamilton bổ sung thêm vào các vấn đề này khi phát minh quarternions (các số siêu phức), không tuân theo luật giao hoán trong phép nhân, và Carley đưa vào matrices (một dạng cao hơn số siêu phức), bài học rút ra là rõ ràng: người ta không thể cứ giả sử những tính chất cơ bản của một hệ thống số tự động đúng trong hệ thống mở rộng hệ thống đó. Đây là điều chính Frege đã nhấn mạnh khi phê phán lí thuyết số của những nhà hình thức luận.
Nhưng động cơ quan trọng nhất nằm sau mối quan tâm gia tăng với những cơ sở của số học trong thế kỉ XIX là nhu cầu làm nghiêm ngặt hóa phép tính tích phân và vi phân, tức là giải tích toán học. Chìa khóa của sự diễn giải phép tính này là khái niệm ‘giới hạn’ (limit), và chính Cauchy là người đã thực hiện nỗ lực đầu tiên định nghĩa khái niệm này bằng những dãy hội tụ. Những bàn luận sai lầm về ‘cái vô cùng nhỏ’ cuối cùng đã bị Weierstrass xóa sạch, ông nhận ra rằng nếu muốn có những tiến bộ trong những lĩnh vực mà người ta đưa ra trực giác hình học, giải tích phải được đặt cơ sở trên lí thuyết số. Weierstrass, Cantor, và Dedekind cả ba đều lí giải số thực dưới dạng các dãy số hữu tỉ hội tụ; và giả sử rằng các số hữu tỉ có thể được định nghĩa bằng các số tự nhiên, các cơ sở cần thiết đang tìm kiếm đã được đảm bảo. Nhưng các số tự nhiên vẫn được giả sử là có sẵn, và đây là điều Frege xem là không thể chấp nhận, nhất là vì ông không thể tìm thấy lí giải rõ ràng chúng là gì. Do đó, ông tự đặt cho mình tác vụ hoàn thành quá trình quy giảm: định nghĩa các số tự nhiên bằng những thuật ngữ logic.
Sau khi công bố Begriffsschrift, Frege được thăng lên ausserordenlicher Professor, vị trí cuối cùng đã đem lại cho ông lương bổng; nhưng quyển sách ấy vấp phải những bài điểm sách phê bình, ‘hệ kí hiệu khái niệm’ (concept-script) của ông bị những chuyên gia hàng đầu đương thời đánh giá là yếu hơn hệ thống logic Boolean. Phê bình này khiến Frege nghiên cứu cẩn thận tác phẩm của Boole, và viết nhiều bài báo chứng minh khả năng mạnh hơn của lí thuyết của riêng ông. Ông bận tâm làm việc này trong ba năm sau khi xuất bản Begriffsschrift, và công việc phân tích khái niệm số, được loan báo trong câu cuối của Lời tựa của Begriffsschrift, do vậy bị trì hoãn. Tuy nhiên, sự phê bình có một tác động tích cực: nó khiến Frege ý thức về nhu cầu phải giải thích những ý tưởng của ông và vạch ra theo cách phi hình thức sự thiết lập số học từ logic mà ông đề xuất, trước khi bắt đầu chương trình cung cấp những chứng minh nghiêm ngặt sử dụng ‘hệ kí hiệu khái niệm’ của ông. Ông đọc tác phẩm của các triết gia đã viết về toán học, và nhận ra tầm quan trọng của việc đặt những ý tưởng của riêng ông trong hậu cảnh của những tranh luận truyền thống. Kết quả là Die Grundlagen der Arithmetik, xuất bản năm 1884, và hiện nay được công nhận, dù hồi đó không phải thế, là tác phẩm bậc thầy, chứa một phê phán mạnh mẽ đối với những quan niệm đối nghịch về số học và lí giải độc đáo của chính ông.
Đặt lập trường của ông bên trong bộ khung của Kant, Frege lập luận trong Phần I rằng số học không phải là một hệ thống chân lí tổng hợp tiên nghiệm theo quan điểm của Kant, nó cũng không là một hệ thống chân lí tổng hợp hậu nghiệm theo quan điểm của Mill, nên chỉ còn một khả năng duy nhất nó là một hệ thống chân lí phân tích tiên nghiệm theo quan điểm của Leibniz. Trong Phần II, Frege phê phán cả hai quan niệm duy nghiệm và duy tâm lí học về số ‒ số không là một tính chất của những sự vật bên ngoài, vì chúng ta gán số gì cho các vật tùy thuộc vào khái niệm mà chúng ta phân loại vật vào đó, nó cũng không phải một ý niệm, vì như thế sẽ biến nó thành mang tính chủ quan. Theo Frege, số là khách quan nhưng là phi-thực-tồn. Trong §46 trong phần III, ông lập định luận đề then chốt của ông ‒ một phát biểu về số (nói có bao nhiêu vật gì đó) chứa một khẳng định về một khái niệm. Chẳng hạn, nói có một Thượng Đế tức là nói khái niệm Thượng Đế có duy nhất một trường hợp cụ thể; và điểm quan trọng ở đây là những giải nghĩa như thế làm cho những phát biểu về số có thể được hình thức hóa theo logic thuần túy. Trong Phần IV, Frege tiếp tục đưa ra những định nghĩa về khái niệm số, quan hệ phần tử kế tiếp và những số cá biệt – dưới dạng ngoại diên của khái niệm. Vì những khái niệm được chọn có thể được định nghĩa bằng logic, và giả sử rằng khái niệm về ngoại diên của một khái niệm không gây rắc rối về mặt logic (tôi sẽ trở lại điểm này ngay), thế thì tuyên bố của Frege trong Phần kết luận là có ‘xác suất’ rằng số học có thể được thiết lập từ logic là được biện minh.
Sau khi lí giải dạng phi hình thức của ông được xuất bản, Frege tập trung vào việc chứng minh nghiêm ngặt luận đề duy logic, dựa trên các định nghĩa của ông và sử dụng hệ thống logic của ông (với một số chỉnh sửa) để chứng minh các luật của số học. Thành quả là magnum opus của ông, Grundgesetze der Arithmetik, tập I xuất bản năm 1893 và tập II năm 1903. Tuy nhiên, trong thời gian chín năm trôi qua giữa lúc xuất bản Grundlagen và tập I của Grundgesetze, Frege có thay đổi ở một số điểm quan trọng, thể hiện trong ba bài báo ông xuất bản đầu thập niên 1890 – “Function and concept” (Hàm và khái niệm), “On Sinn and Bedeutung” (Về Sinn và Bedeutung) và “On Concept and Object” (Về khái niệm và đối tượng). Cả ba bài giờ đây đều được xem là kinh điển của triết học phân tích; và nhất là bài thứ hai, trong đó ông đưa vào sự phân biệt nổi tiếng của ông giữa Sinn và Bedeutung, có lẽ đây là tác phẩm ảnh hưởng và phổ biến nhất trong triết học ngôn ngữ hiện đại, điều ấy không có nghĩa là sự phân biệt này được chấp nhận phổ quát hay sự diễn giải của nó là không gây tranh cãi (tôi sẽ nói thêm về điểm này bên dưới). Tuy nhiên, đối với dự án duy logic của Frege, sự phát triển quan trọng nhất là sự đơn giản hóa bản thể học của ông. Frege từng nhấn mạnh vào sự phân biệt giữa khái niệm và đối tượng trong Grundlagen – một hệ quả của việc ông dùng phân tích hàm-đối số trong Begriffshchrift; nhưng trong phạm trù đối tượng, ông nói rõ ông bao gồm thứ nhất là những chân trị (truth-values) (được xem như các Bedeutung của câu), cho nên khái niệm cũng được quan niệm là hàm ánh xạ các đối tượng vào một trong hai đối tượng, Chân lí (the Truth) và Sai lầm (the False) (nghĩa là những hàm mà giá trị của chúng là một chân trị), và thứ hai là ngoại diên của khái niệm, vốn có thể được lấy làm đối số hợp thức của hàm. Như chúng ta vừa lưu ý, mặc dù Frege đưa những ngoại diên của khái niệm trong Grundlagen, hồi đó ông chưa sẵn sàng sử dụng chúng; và trên thực tế dường như có một giai đoạn ông cố gắng không dùng chúng. Nhưng nỗ lực này thất bại, ông sớm quay về với những định nghĩa ban đầu của ông. Ba bài báo vào đầu thập niên 1890 của ông có thể được xem như củng cố, và quả thật cung cấp sự biện minh, cho sự viện dẫn của ông đến ngoại diên của khái niệm. Mặc dù các bài báo này thường được đọc như những bài nằm riêng trong lãnh vực logic triết học đang nổi lên (và quả thật có thể có ích khi đọc như thế), vai trò ban đầu của chúng là ủng hộ về mặt triết học cho chương trình duy logic của ông.
Sau khi xuất bản tập I của Grundgesetze, Frege được thăng lên Honorary Ordinary Professor, vị trí không lương nhưng cũng không có trách nhiệm quản lý. Nhờ khoản thu nhập hậu hĩnh ông nhận được từ Carl Zeiss Stiftung, ông có thể nghiên cứu nhiều hơn; và chắc chắn ông đã có rất nhiều thành quả nghiên cứu trong khoảng 10 năm sau đó. Ông không những phát triển thêm Grundgesetze, ông còn công bố một số bài điểm sách có phê phán tác phẩm của những tác giả khác. Bài điểm sách năm 1894 quyển Philosophie der Arithmetik đã góp phần hướng Husserl từ bỏ chủ nghĩa duy tâm lí thời đầu của mình. Giai đoạn 1894-1896, ông viết thư trao đổi thường xuyên với Peano, và công bố hai tác phẩm giải thích những ưu điểm của hệ thống kí hiệu khái niệm của ông so với hệ thống Peano đang phát triển, quả thật Peano đã chỉnh sửa hệ thống của ông do đọc tác phẩm của Frege. Hệ thống của Peano là hệ thống Russell đã phát triển tiếp, và chính qua Peano mà Russell mới biết đến tác phẩm của Frege- một sự kiện tuy nhiên đã có những hệ quả tai họa với Frege.
Nguồn gốc của những vấn đề của Frege, nói cho cùng, là do ông viện đến những ngoại diên của khái niệm, và nhất là do quan niệm của ông chúng là những đối tượng – khi kết hợp với giả sử của ông cho rằng mỗi khái niệm phải được định nghĩa cho mọi đối tượng. Vì giả sử sau suy ra rằng mỗi khái niệm chia mọi đối tượng thành đối tượng rơi vào, hay không rơi vào nó (không có khả năng thứ ba); cùng với giả sử cho rằng ngoại diên của khái niệm là đối tượng, nó suy ra rằng bản thân ngoại diên có thể được chia thành những ngoại diên rơi vào khái niệm mà chúng là ngoại diên (chẳng hạn ngoại diên của “( ) là một ngoại diên”), và những ngoại diên không rơi vào (chẳng hạn ngoại diên của “( ) là một con ngựa”). Nhưng giờ hãy xét khái niệm “( ) là ngoại diên của một khái niệm mà nó không rơi vào”. Ngoại diên của khái niệm này rơi vào khái niệm này hay không? Nếu nó rơi vào, thì nó không rơi vào; và nếu nó không rơi vào, thì nó rơi vào.
Mâu thuẫn này do Russell khám phá năm 1902, và ông viết cho Frege thông báo về nghịch lí này ngày 16 tháng 06, khi Grundgesetze đang trong quá trình in ấn. Giờ đây nó mang tên nghịch lí Russell, Frege nhận ra ngay lập tức tính chất nghiêm trọng của nó. Hai bên trao đổi, và Frege cố gắng sửa chữa trong phần phụ lục. Những gì ông cho là đã dẫn đến mâu thuẫn chính là tiên đề V, tiên đề mà ông đã chấp nhận có phần ngần ngại trong Lời tựa của tập I. Giới hạn cho những trường hợp cụ thể của khái niệm, Tiên đề V có thể được lập định như sau:
(Vc) Cái gì rơi vào khái niệm F cũng rơi vào khái niệm G, và ngược lại, nếu và chỉ nếu hai khái niệm F và G có cùng ngoại diên.
Theo Frege, Tiên đề V hợp thức hóa sự viện dẫn đến những ngoại diên của khái niệm bằng cách nêu rõ tiêu chuẩn về đồng nhất cho chúng (hai ngoại diên là đồng nhất nếu các khái niệm tương ứng của chúng áp dụng cho cùng các đối tượng). Nếu mỗi khái niệm được định nghĩa cho mỗi đối tượng, Tiên đề V đảm bảo mỗi khái niệm có một ngoại diên, và nếu bản thân các ngoại diên này là những đối tượng, thì nó đảm bảo cho chúng ta rằng ngoại diên của khái niệm “( ) là ngoại diên của một khái niệm mà nó không rơi vào” là một đối tượng; nhưng chính điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Phản ứng của Frege với nghịch lí này là loại bỏ việc áp dụng của các khái niệm với những ngoại diên của chúng, kết quả tạo ra sự giới hạn tiên đề (Vc)
(V’c) Cái gì rơi vào khái niệm F, ngoại trừ ngoại diên của chính nó, rơi vào khái niệm G, và ngược lại, nếu và chỉ nếu các khái niệm F và G có cùng ngoại diên.
Tuy nhiên, thật không may, tiên đề này cũng bị thấy tạo ra mâu thuẫn, trong những miền có nhiều hơn một đối tượng; và mặc dù chúng ta không rõ khi nào Frege chấp nhận rằng hệ thống của ông đã sụp đổ một cách không tránh khỏi, tập III theo dự kiến của Grundgesetze không bao giờ được hoàn thành, và đến cuối đời Frege chắc chắn thừa nhận dự án duy logic của ông đã thất bại.
Trong 15 năm cuối cùng ở Jena, Frege xuất bản ít, vì lí do đau buồn cá nhân cũng như thất vọng về mặt học thuật. Các con ruột của ông với vợ, Margaret Lieseburg (sinh năm 1856), đều mất sớm, mặc dù họ nhận một đứa con trai nuôi, Alfred, khoảng năm 1900, vợ ông cũng qua đời năm 1905, bỏ lại ông nuôi đứa con này một mình. Sức khỏe kém cũng ảnh hưởng đến ông trong suốt phần đời còn lại. Tuy nhiên, ông có ảnh hưởng quan trọng đến hai người khác, lúc khởi đầu sự nghiệp triết học của họ, những người đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển và truyền bá những ý tưởng của ông. Năm 1911, Wittgenstein, lúc đó là sinh viên ngành khí động học,  đến thăm ông, Wittgenstein đã đọc về những quan điểm của ông trong Phụ lục A của Các nguyên lí của toán học của Russell; và chính Frege là người đã giới thiệu Wittgenstein đến Cambridge để học với Russell. Từ năm 1910 đến 1914, nhiều bài giảng của Frege có sự tham dự của Carnap, lúc đó đang học ở Jena; và Carnap, giống Wittgenstein, không dấu giếm về sự ảnh hưởng của tác phẩm Frege với mình.
Frege về hưu ở Đại học Jena năm 1918, và chuyển đến Bad Kleinen, gần quê Wismar của ông. Trong những năm cuối đời, ông xuất bản một loạt bài báo tên gọi Logical Investigations, thành quả cuối cùng của những nỗ lực suốt đời ông để viết một quyển sách về logic – giải thích những quan điểm của ông, nhất là về chân lí, tư tưởng, Sinn và Bedeutung, bản tính của logic, phép phủ định, và tính tổng quát. Bài đầu trong các bài này, “Der Gadanke”, lập luận bênh vực quan điểm tính bất khả định nghĩa của chân lí và tính khách quan của tư tưởng, có ảnh hưởng chỉ xếp sau bài “Về Sinn và Bedeutung” đối với triết học thời sau. Nhưng Frege không còn sống để thấy ảnh hưởng của ông, hay vui hưởng sự công nhận, cũng như danh tiếng rộng rãi mà các tác phẩm này xứng đáng và cuối cùng được tiếp nhận. Ông qua đời ở tuổi 77 ngày 26 tháng 07 năm 1925.
Trong một ghi chú kèm theo di chúc, để lại các thư từ và bài viết chưa xuất bản của ông cho con trai ông, Alfred, Frege đã viết:
Alfred yêu quí,
Đừng xem thường những gì cha đã viết. Cho dù nếu tất cả không phải là vàng, thì cũng có vàng trong đó. Cha tin có những thứ ở đây một ngày nào đó sẽ được công nhận ở mức cao hơn nhiều so với bây giờ. Hãy giữ gìn để không làm mất thứ gì con nhé.
Cha yêu quí của con.
Đây là một phần lớn của chính cha, nay cha để lại nó cho con.
Vào năm 1935, Alfred Frege đã trao phần di cảo – Nachlass của Frege cho Heinrich Scholz thuộc Đại học Munchen, người trước đó đã tìm kiếm chúng, Scholz và những cộng sự đã bắt tay vào biên tập chúng để xuất bản. Trong thế chiến II, phần bản gốc được giữ ở University Library cho an toàn, tuy nhiên chúng đã bị bom của phe đồng minh phá hủy vào ngày 25 tháng 03 năm 1945. Mặc dù may mắn là các bản sao đã được thực hiện đối với những gì được cho là quan trọng, Scholz đã sao chép chúng một lần nữa sau thế chiến II để chuẩn bị xuất bản. Nhưng bệnh tật của Scholz khiến cho ông không thể hoàn thành dự án này trước khi qua đời vào năm 1956; mãi đến năm 1969 thì Nachgelassene Schriften mới được xuất bản, được biên tập bởi một nhóm học giả do Hans Hemes lập nên, người kế nhiệm Schloz ở Munchen, và sau đó là một tập thư từ được công bố vào năm 1976. Hơn 50 năm sau khi Frege qua đời, những gì là vàng còn lại mà Frege đã nhắc đến mới xuất hiện, và sự tiên tri của Frege rằng một ngày nào đó nó sẽ được đánh giá cao hơn nhiều so với lúc ông viết chúng đã trở thành hiện thực.

………………..

GOTTLOB FREGE (1848-1925) là một nhà toán học, logic học và triết học vĩ đại. Là giáo sư toán tại đại học Jena (Đức), ông là sáng tổ của ngành triết học phân tích, triết học ngôn ngữ, và triết học toán học. Mặc dù vậy, tiếc thay, trong các lĩnh vực này rất ít người biết đến các công trình của ông. Thông qua các công trình của Bertrand Russell và Ludwig Wittgenstein, hai khuôn mặt triết gia khổng lồ của thế kỷ 20, thiên hạ mới biết đến tài năng lỗi lạc của ông.

Mối quan tâm chính của Frege là triết học toán học, và tác phẩm Các cơ sở của số học (Die Grundlagen der Arithmetik 1884) chính là một kiệt tác của ông trong lĩnh vực này. Frege bênh vực cho chủ nghĩa duy tâm của Platon, phản đối chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa duy tâm lí trong triết học toán học. Mục tiêu của ông là dựa trên các tiên đề logic để suy ra tất cả các định luật toán học. Nói cách khác, theo Frege, các định luật toán học đều bắt nguồn từ các quy luật logic. Các quy luật logic hoàn toàn khách quan, còn các hiện tượng tâm lí hoàn toàn chủ quan nên chúng không thể là nền tảng cho toán học được. Đây cũng chính là lập trường của Edmund Husserl, cha đẻ của hiện tượng học (phenomenology). Lập trường triết học của Frege nằm trong ba nguyên lí:

1-Luôn luôn tách bạch một cách phân minh giữa cái tâm lí và cái logic, cái chủ quan và cái khách quan;

2-Không bao giờ hỏi nghĩa (Bedeutung) của một từ trong cô lập, mà chỉ trong ngữ cảnh của một mệnh đề;

3-Không bao giờ đánh mất sự phân biệt giữa khái niệm và đối tượng.

Frege không đơn thuần là một nhà toán học khi ông đặt ra một câu hỏi theo truyền thống triết học Kant: các chân lý số học là tiên nghiệm hay hậu nghiệm? Chúng là những phán đoán phân tích hay tổng hợp?

Lưu ý Frege đang sử dụng các thuật ngữ triết học của Kant, nhưng ông không đồng ý với quan điểm của Kant khi Kant cho rằng các mệnh đề toán học (như 2+2=4) là các mệnh đề tổng hợp tiên nghiệm (a priori synthetic). Quan điểm của Frege là: các chân lý số học, bắt nguồn từ các tiên đề logic, hoàn toàn mang tính tiên nghiệm và phân tích, nghĩa là chúng không lệ thuộc vào kinh nghiệm, thậm chí chúng còn là nền tảng của kinh nghiệm.

Triết học toán học còn là một chuyên ngành xa lạ trong thị trường triết học tại Việt Nam, vốn xưa nay vẫn chỉ tập trung vào Kant, Hegel, Marx, chủ nghĩa hiện sinh (J.-P. Sartre, Albert Camus), hiện tượng học (Edmund Husserl), chủ nghĩa hậu hiện đại, hay triết học Heidegger, thông diễn học Gadamer, giải cấu trúc Jacques Derrida. Dịch giả Huỳnh Duy Thanh có thể nói là một trong những người đầu tiên tại Việt Nam có công giới thiệu một mảng triết học rất khó nhằn, ngay cả với độc giả phương Tây, là triết học toán và logic, với các công trình phiên dịch Bertrand Russell trước đây. Kiệt tác này của Frege do anh khổ công chuyển ngữ là một đóng góp quan trọng vào kho tàng tư liệu triết học Việt Nam. Thư Hiên Dịch Trường xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc.